Departamento de Física — Setor de Ciências Exatas
Ambiente integrado de apoio acadêmico para preparação pré-laboratório, fixação conceitual e validação preliminar dos dados experimentais coletados nas bancadas do Departamento de Física da Universidade Federal do Paraná (UFPR).
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Realizada em 1914 por James Franck e Gustav Hertz, esta experiência forneceu a primeira confirmação direta, independente de espectroscopia óptica, da quantização dos níveis discretos de energia atômica postulada por Niels Bohr em 1913[1]. Por esta conquista, Franck e Hertz receberam o Prêmio Nobel de Física em 1925.
O experimento utiliza um tubo termoiônico selado contendo cátodo aquecido emissor de elétrons, uma grade anódica de aceleração permeável e uma placa coletora mantida sob uma pequena contra-tensão retardadora $U_E$ (típica de $1{,}5\text{ V}$ a $2{,}0\text{ V}$) em relação à grade. No interior da ampola, há vapor de mercúrio (Hg) aquecido ou gás nobre rarefeito (como o Neônio, Ne).
Ao acelerar os elétrons do cátodo até a grade por uma diferença de potencial ajustável $U_A$, os elétrons colidem repetidamente com os átomos do gás:
Aumentando continuamente a tensão de aceleração $U_A$, os elétrons voltam a ser acelerados após a primeira colisão inelástica. Quando atingem energia cinética suficiente para realizar 2, 3 ou mais colisões inelásticas sucessivas no trajeto até a grade, observam-se múltiplos picos e vales periódicos na curva da corrente coletora em função da tensão:
$$\Delta U = U_{n+1} - U_n = \frac{\Delta E_{ex}}{e}$$
Medidas cuidadosas mostram que o espaçamento entre mínimos sucessivos cresce linearmente com a ordem $n$. Após atingir a energia de excitação, o elétron ainda percorre parte do livre caminho médio $\lambda$ ganhando energia antes de colidir, de modo que, segundo o modelo de Rapior, Sengstock e Baev[5]:
$$\Delta U(n) = \frac{E_a}{e}\left[1 + (2n - 1)\frac{\lambda}{L}\right]$$
onde $L$ é a distância cátodo-grade. Por isso a média simples dos espaçamentos superestima ligeiramente $E_a$ (no Hg, valores entre 4,8 e 5,1 eV são comuns); extrapolando a reta $\Delta U(n)$ para $n = 1/2$ obtém-se a energia de excitação. O Assistente de Dados apresenta as duas estimativas.
No final do século XIX, Johann Jakob Balmer descobriu empiricamente que os comprimentos de onda das linhas de emissão visíveis do hidrogênio atômico obedeciam a uma relação aritmética precisa[1]. Mais tarde, Johannes Rydberg generalizou esta equação para transições entre quaisquer pares de níveis atômicos[2]:
$$\frac{1}{\lambda} = R_{\text{H}} \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right), \quad n_i > n_f$$
onde $R_{\text{H}} \approx 1{,}09677 \times 10^7\text{ m}^{-1}$ é a constante de Rydberg para o hidrogênio. A interpretação física rigorosa emergiu com o modelo atômico de Bohr (1913), que quantizou o momento angular do elétron em órbitas estacionárias circulares ($L = n\hbar$), estabelecendo que o fóton emitido carrega a diferença de energia entre os estados: $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = \frac{hc}{\lambda}$.
Para o átomo de hidrogênio neutro ($Z = 1$), transições de estados excitados $n_i \ge 3$ para o estado $n_f = 2$ formam a série de Balmer. As quatro primeiras linhas estão no visível; a partir de $n_i = 7$ ($\lambda \approx 397\text{ nm}$) as linhas entram no ultravioleta próximo, convergindo para o limite da série em $364{,}6\text{ nm}$:
A lâmpada espectral de hélio emite essencialmente as linhas do átomo neutro (He I). Por ter dois elétrons, o hélio não admite a solução de Bohr: a repulsão elétron-elétron e o efeito de troca separam os níveis excitados em dois sistemas, singleto (parahélio, $S = 0$) e tripleto (ortohélio, $S = 1$), e as transições ópticas entre os dois sistemas são fortemente suprimidas (regra $\Delta S = 0$). Como as energias não seguem $E_n \propto -1/n^2$, as linhas do He I não obedecem à fórmula de Rydberg e não podem ser analisadas pelo gráfico $1/\lambda \times (1/n_i)^2$.
Os comprimentos de onda do He I são, entretanto, conhecidos com altíssima precisão[6]. Por isso a lâmpada de hélio é usada como padrão de calibração: medindo os ângulos de difração de linhas conhecidas, determina-se a constante real da rede $d$, que é então aplicada às medidas do hidrogênio. As linhas mais visíveis são 667,8 nm (vermelho), 587,6 nm (amarelo, a mais intensa), 501,6 nm (verde), 492,2 nm (verde-azulado), 471,3 nm (azul) e 447,1 nm (azul-violeta).
Descoberto por Heinrich Hertz em 1887 e investigado sistematicamente por Philipp Lenard em 1902, o efeito fotoelétrico consiste na emissão de elétrons por uma superfície metálica quando iluminada por radiação eletromagnética[1].
Pela teoria ondulatória clássica de Maxwell, a energia de uma onda luminosa é proporcional à sua intensidade (quadrado do campo elétrico, $I \propto E^2$) e distribui-se continuamente sobre a frente de onda. Disso decorriam previsões que falharam nos experimentos:
Albert Einstein solucionou o impasse postulando que a radiação eletromagnética não é apenas emitida e absorvida em pacotes discretos (como proposto por Planck), mas propaga-se no espaço como um feixe de quanta corpusculares de energia localizados — os fótons:
$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$$
Na absorção fotoelétrica, um fóton é absorvido e transfere toda a sua energia a um único elétron. Parte dessa energia é consumida para vencer a barreira de potencial que retém o elétron no metal — a função trabalho ($\Phi$) —, e o restante converte-se em energia cinética máxima ($K_{\text{máx}}$):
$$K_{\text{máx}} = h\nu - \Phi$$
No arranjo experimental, os elétrons ejetados do fotocátodo deslocam-se até o ânodo. No aparelho h/e da bancada, o ânodo está ligado a um amplificador de altíssima impedância ($\sim 10^{13}\ \Omega$): à medida que recebe elétrons, ele se carrega negativamente e passa a frear os fotoelétrons seguintes, até que nem os mais energéticos o alcancem. A tensão estabiliza então no potencial de parada ($V_0$), onde $K_{\text{máx}} = e V_0$, lido diretamente no voltímetro:
$$e V_0 = h\nu - \Phi \implies V_0 = \left( \frac{h}{e} \right)\nu - \frac{\Phi}{e}$$
O gráfico de $V_0$ em função da frequência $\nu$ é uma reta com coeficiente angular $a = \frac{h}{e}$ e coeficiente linear $b = -\frac{\Phi}{e}$, permitindo a determinação da Constante de Planck ($h$).
Na física do estado sólido, a condutividade elétrica dos materiais é compreendida através da teoria quântica de bandas de energia eletrônica. Ao contrário dos metais (onde a banda de condução está parcialmente preenchida ou sobreposta à banda de valência), os semicondutores e isolantes possuem uma faixa de energia estritamente proibida aos elétrons: o gap de energia ($E_g$).
No zero absoluto ($T = 0\text{ K}$), a banda de valência de um semicondutor intrínseco encontra-se completamente cheia e a banda de condução completamente vazia, comportando-se como isolante perfeito. À medida que a temperatura $T$ aumenta, a energia térmica $k_B T$ excita elétrons através da barreira proibida para a banda de condução, gerando simultaneamente buracos condutores na banda de valência.
A densidade de portadores intrínsecos cresce exponencialmente com a temperatura:
$$n_i = \sqrt{N_c N_v}\,\exp\left(-\frac{E_g}{2 k_B T}\right), \qquad N_c, N_v \propto T^{3/2} \;\Rightarrow\; n_i \propto T^{3/2} \exp\left(-\frac{E_g}{2 k_B T}\right)$$
A resistividade é $\rho = 1/[e\, n_i (\mu_n + \mu_p)]$, e portanto depende também de como a mobilidade $\mu$ varia com $T$:
Aqui $k_B \approx 8{,}617 \times 10^{-5}\text{ eV/K}$ e $\rho_0$ é apenas um pré-fator de ajuste (não é a resistividade a 0 K: num semicondutor intrínseco, $\rho \to \infty$ quando $T \to 0$).
O gap do InSb diminui com o aquecimento, seguindo a relação de Varshni $E_g(T) = 0{,}235\text{ eV} - \dfrac{3{,}2\times10^{-4}\,T^2}{T + 170}$ (eV, $T$ em K)[5], que dá $E_g(300\text{ K}) \approx 0{,}17\text{ eV}$. Na faixa de 0 a 100 °C, $E_g(T) \approx E_{g0} - \beta T$, e o termo $-\beta T$ vira apenas uma constante no expoente. Assim, a inclinação do gráfico de Arrhenius fornece $E_{g0}$, o gap extrapolado linearmente a 0 K (cerca de 0,26 eV), e não o valor a 300 K. O Assistente de Dados faz a comparação com esse valor esperado.
Como o ensaio é conduzido com corrente constante $I = 200\text{ mA}$, a queda de potencial medida $\Delta V(T)$ é proporcional à resistividade $\rho(T)$. Reunindo o pré-fator $\rho_0$, a corrente e os fatores geométricos da amostra numa constante $C$:
$$\text{Modo 1:}\;\; \Delta V(T) = C\, \exp\left( \frac{E_g}{2 k_B T} \right) \qquad \text{Modo 2:}\;\; \Delta V(T) = C\, T^{-3/2} \exp\left( \frac{E_g}{2 k_B T} \right)$$
No Modo 1, $\ln(\Delta V) \times 1/T$ é uma reta de inclinação $E_g/2k_B$; no Modo 2, a reta é $[\ln(\Delta V) + \tfrac{3}{2}\ln T] \times 1/T$. Comparar os dois resultados mostra quanto a hipótese sobre a mobilidade afeta o valor de $E_g$.
Em semicondutores de resistência moderada a baixa, o método tradicional de dois terminais introduz erros severos devido à resistência ôhmica dos cabos de medição e à resistência de contato na interface metal-semicondutor. A técnica de quatro pontas resolve este problema separando as vias de corrente e de tensão:
A espectroscopia de transmissão e absorção óptica no infravermelho permite caracterizar propriedades estruturais e eletrônicas fundamentais em materiais semicondutores. Neste módulo são abordadas duas técnicas laboratoriais:
O silício cristalino puro possui gap de energia indireto de $E_g \approx 1{,}12\text{ eV}$ à temperatura ambiente, correspondendo ao limiar de absorção em $\lambda_g \approx 1107\text{ nm}$. Para radiações na faixa do infravermelho ($\lambda > 1{,}1\text{ }\mu\text{m}$), a energia dos fótons é insuficiente para promover elétrons da banda de valência para a de condução, tornando a lâmina de silício transparente à luz.
Quando o feixe incide perpendicularmente numa lâmina de faces paralelas de espessura $d$ e índice de refração $n$, reflexões parciais internas consecutivas interferem entre si, gerando franjas periódicas no espectro de transmissão. As condições de interferência são:
onde $\bar{\nu} = 1/\lambda$ é o número de onda (em $\text{cm}^{-1}$) e $m$ é a ordem da franja, que diminui quando $\lambda$ aumenta.
Índice de grupo. Como $n$ varia com $\lambda$, a separação entre franjas vizinhas é $\Delta\bar{\nu} = 1/(2 n_g d)$, onde $n_g = n - \lambda\, dn/d\lambda$ é o índice de grupo. Para o silício entre 1,2 e 1,7 μm, $n \approx 3{,}48$ mas $n_g \approx 3{,}6$[3]. Usar $n$ no lugar de $n_g$ superestima a espessura em cerca de 4%.
O arsenieto de gálio (GaAs) possui gap de energia direto ($E_g \approx 1{,}42\text{ eV}$ a 300 K). Quando a energia do fóton satisfaz $h\nu \ge E_g$, ocorrem transições eletrônicas diretas verticais ($k \approx 0$) com forte absorção óptica governada pela relação de Tauc:
$$[\alpha(h\nu) \cdot h\nu]^2 \propto (h\nu - E_g)$$
Extrapolando linearmente a região de subida abrupta até o corte no eixo horizontal (onde $[\alpha \cdot h\nu]^2 = 0$), obtém-se o gap óptico $E_g$ do semicondutor.
Método simples. Na prática de bancada, é comum determinar o gap diretamente no espectro de intensidade transmitida em função de $\lambda$: traça-se a reta pela subida abrupta da borda e prolonga-se até a intensidade nula. O comprimento de onda de corte $\lambda_g$ fornece $E_g = hc/\lambda_g = 1239{,}84/\lambda_g$ (eV, $\lambda$ em nm). O método de Tauc, descrito a seguir, é mais trabalhoso, mas se apoia no modelo de transição direta.
Absorção a partir da transmitância. Cada face reflete $R \approx 0{,}32$ da luz (índice $n \approx 3{,}6$), de modo que mesmo sem absorção a lâmina transmite no máximo $(1-R)/(1+R) \approx 0{,}52$. Considerando as reflexões múltiplas, $T = (1-R)^2 e^{-\alpha d} / (1 - R^2 e^{-2\alpha d})$, que se reduz a $\alpha d \approx \ln[(1-R)^2/T]$ quando a absorção é forte. Usar apenas $-\ln T$ desloca a curva de Tauc. Como $d$ é constante, o gráfico usa $[\alpha d \cdot h\nu]^2$, que tem o mesmo ponto de corte.
Lâminas espessas. Numa lâmina de centenas de micrômetros, a luz só atravessa onde $\alpha$ é pequeno, isto é, na cauda de absorção logo abaixo da borda (cauda de Urbach). O valor de Tauc tende então a ficar um pouco abaixo de 1,424 eV.
Todo corpo a temperatura $T > 0\text{ K}$ emite radiação térmica. No final do século XIX, a incapacidade do modelo clássico de Rayleigh-Jeans de prever a radiância espectral em altas frequências levou ao postulado de quantização de Max Planck ($\Delta E = h\nu$)[1].
$$u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1}$$
A radiância total de corpo negro resulta da integração em todas as frequências ($0 \le \nu < \infty$)[2]:
$$R_T = \sigma T^4, \quad \sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 c^2 h^3} \approx 5{,}670 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$$
Para um corpo real com emissividade $\epsilon$ em ambiente a $T_{amb}$, a potência líquida trocada é expressa por[2]:
$$P_{liq} = \epsilon \sigma A (T^4 - T_{amb}^4)$$
O sensor de radiação (termopilha de Moll) gera tensão proporcional à densidade de potência incidente via efeito Seebeck[3]. Para fontes pontuais isotrópicas, a intensidade decai com o quadrado da distância[4]:
$$I(x) = \frac{P_{total}}{4\pi x^2} \implies V_D(x) \propto \frac{1}{x^2}$$
O experimento de Thomson (1897) confirmou a existência do elétron através da deflexão em campos elétricos e magnéticos ortogonais[1].
Acelerados pelo potencial $V$, os elétrons adquirem energia cinética $e V = \frac{1}{2}mv^2$[2]. Sob campo magnético uniforme $\vec{B} \perp \vec{v}$, a força centrípeta de Lorentz conduz à trajetória circular de raio $r$[2]:
$$e v B = \frac{m v^2}{r} \implies \frac{e}{m} = \frac{2 V}{r^2 B^2} \quad [\text{C/kg}]$$
O campo uniforme central gerado pelas bobinas obedece às relações de bancada[3]:
Em 1924, Louis de Broglie postulou que partículas materiais dotadas de momento linear $p$ exibem propriedades ondulatórias caracterizadas por um comprimento de onda intrínseco[1]:
$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$$
Quando elétrons acelerados por um potencial eletrostático $V$ adquirem momento $p = \sqrt{2 m_e e V}$, o comprimento de onda de de Broglie associado é expresso por[2]:
$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e V}}$$
A confirmação por Davisson e Germer (1927) utilizou monocristais como redes de difração tridimensionais[3]. No aparato didático, o feixe incide sobre grafite policristalino ($sp^2$), gerando dois anéis concêntricos correspondentes aos planos principais[4]:
Para o anel de difração de raio $R$ sobre uma tela a uma distância $L$ do alvo, a aproximação de pequenos ângulos na Lei de Bragg resulta em[4]:
$$\lambda L = d R \implies R = \left( \frac{h L}{d \sqrt{2 m_e e}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{V}}$$
Pela equação de Schrödinger não relativística para átomos hidrogenoides, os níveis de energia dependem unicamente do número quântico principal $n$ ($E_n \propto -1/n^2$)[2]. Em átomos alcalinos como o sódio, a blindagem pelos elétrons internos já faz a energia depender também de $l$ (os estados $3s$ e $3p$ têm energias diferentes). A espectroscopia de alta resolução revela ainda uma estrutura fina, resultante da interação magnética relativística entre o spin do elétron, proposto por Uhlenbeck e Goudsmit[1], e o seu momento angular orbital[2].
O átomo de sódio possui configuração eletrônica no estado fundamental $[\text{Ne}]\,3s^1$ ($1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$). No referencial do elétron de valência, o movimento do núcleo gera um campo magnético interno $\vec{B}_{int}$, originando o acoplamento spin-órbita[2]:
$$H_{SO} \propto \vec{L} \cdot \vec{S}$$
O momento angular total é $\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}$. Para o estado excitado $3p$ ($l = 1$, $s = 1/2$), os valores possíveis são $j = 3/2$ e $j = 1/2$, desdobrando o nível em dois subníveis separados por $\Delta E \approx 2{,}13\text{ meV}$ ($17{,}2\text{ cm}^{-1}$)[3]:
Com uma rede de difração, determinam-se os ângulos de difração para se obter o comprimento de onda médio ($\lambda_{médio} \approx 5893\text{ \AA}$)[4]:
$$d_{rede} \sin\theta = n \lambda_{médio}$$
A separação estreita ($\Delta\lambda \approx 6\text{ \AA}$) é quantificada através do Interferômetro de Fabry-Perot pela sobreposição periódica de anéis concêntricos[4]:
$$\Delta\lambda = \frac{\lambda_{médio}^2}{2\Delta d}$$
A Ressonância Paramagnética Eletrônica (EPR ou ESR) estuda a absorção ressonante de radiação eletromagnética por materiais contendo elétrons desemparelhados sob um campo magnético estático $\vec{B}$[1].
O momento magnético de spin do elétron é $\vec{\mu}_s = -g_e \mu_B \vec{S}/\hbar$, onde $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}274 \times 10^{-24}\text{ J/T}$ é o Magneton de Bohr[2] e $g_e \approx 2{,}0023$. Sob campo estático $\vec{B}$, os dois estados de spin se separam (Efeito Zeeman)[2]:
$$\Delta E = g \mu_B B$$
Ao incidir radiação oscilante de alta frequência $\nu_R$ em condição de ressonância ($h \nu_R = \Delta E$)[3]:
$$h \nu_R = g \mu_B B_R \implies B_R = \left( \frac{h}{g \mu_B} \right) \nu_R$$
Utiliza-se como amostra padrão o radical orgânico estável DPPH (2,2-difenil-1-picril-hidrazila), que possui um elétron desemparelhado na ponte de nitrogênio com $g = 2{,}0036$ e largura de linha estreita[4]. A amostra dentro da bobina de RF altera sua impedância segundo $L(\omega) = L_0[1 + \chi(\omega)]$, com $\chi = \chi' - i\chi''$: a parte real $\chi'$ desloca levemente a frequência do oscilador, e a parte imaginária $\chi''$ representa a absorção de potência na ressonância, que reduz a amplitude de oscilação e é o sinal captado no osciloscópio[3].